Управление образованием Асбестовского городского округа
Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
«Лицей № 9» Асбестовского городского округа
Приложение к основной образовательной программе
среднего общего образования,
утвержденной приказом № 208/2-од от 02.09.2024г.

Рабочая программа
среднего общего образования
по курсу
«Иррациональные и трансцендентные уравнения и
неравенства»
10-11 класс

Разработчик
Тушкова Надежда Петровна
учитель математики, 1 КК

Содержание
1. Планируемые результаты освоения учебного предмета
2. Содержание учебного предмета
3. Тематическое планирование

1. Планируемые результаты
Требования к предметным результатам освоения углубленного курса математики включают:
1) сформированность представлений о математике как части мировой культуры и о месте
математики в современной цивилизации, о способах описания на математическом языке явлений
реального мира;
2) сформированность представлений о математических понятиях как о важнейших
математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления;
понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;
3) владение методами доказательств и алгоритмов решения; умение их применять, проводить
доказательные рассуждения в ходе решения задач;
4) владение стандартными приемами решения рациональных и иррациональных, показательных,
степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых
компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения
уравнений и неравенств;
5) сформированность представлений об основных понятиях, идеях и методах математического
анализа;
6) сформированность понятийного аппарата по основным разделам курса математики; знаний
основных теорем, формул и умения их применять; умения доказывать теоремы и находить
нестандартные способы решения задач;
7) сформированность умений моделировать реальные ситуации, исследовать построенные
модели, интерпретировать полученный результат;
8) сформированность представлений об основных понятиях математического анализа и их
свойствах, владение умением характеризовать поведение функций, использование полученных
знаний для описания и анализа реальных зависимостей;

Для успешного продолжения образованияпо специальностям, связанным с прикладным
использованием математики Выпускник научится
Элементы теории множеств и математической логики

 Свободно оперировать1 понятиями: конечное множество, элемент множества,
подмножество, пересечение, объединение и разность множеств, числовые
множества на координатной прямой, отрезок, интервал, полуинтервал,
промежуток с выколотой точкой, графическое представление множеств на
координатной плоскости;
 задавать множества перечислением и характеристическим свойством;
1

Здесь и далее: знать определение понятия, знать и уметь обосновывать свойства(признаки, если они есть) понятия,
характеризовать связи с другими понятиями, представляя одно понятие как часть целостного комплекса,
использовать понятие и его свойства при проведении рассуждений, доказательств, решении задач.

 оперировать понятиями: утверждение, отрицание утверждения, истинные и
ложные утверждения, причина, следствие, частный случай общего утверждения,
контрпример;
 проверять принадлежность элемента множеству;
 находить пересечение и объединение множеств, в том числе представленных
графически на числовой прямой и на координатной плоскости;
 проводить доказательные рассуждения для обоснования истинности
утверждений.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 использовать числовые множества на координатной прямой и на координатной
плоскости для описания реальных процессов и явлений;
проводить доказательные рассуждения в ситуациях повседневной жизни, при решении задач из других
предметов

Для обеспечения возможности успешного продолжения образования по
специальностям, связанным с осуществлением научной и исследовательской
деятельности в области математики и смежных наук
Выпускник получит возможность научиться

 Достижение результатов раздела II;
 оперировать понятием определения, основными видами определений,
основными видами теорем;
 понимать суть косвенного доказательства;
 оперировать понятиями счетного и несчетного множества;
 применять метод математической индукции для проведения рассуждений и
доказательств и при решении задач.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:

использовать теоретико-множественный язык и язык логики для описания
реальных процессов и явлений, при решении задач других учебных предметов
Числа и выражения
Выпускник научится

 Свободно оперировать понятиями: натуральное число, множество натуральных
чисел, целое число, множество целых чисел, обыкновенная дробь, десятичная
дробь, смешанное число, рациональное число, множество рациональных чисел,
иррациональное число, корень степени n, действительное число, множество
действительных чисел, геометрическая интерпретация натуральных, целых,
рациональных, действительных чисел;
 понимать и объяснять разницу между позиционной и непозиционной системами
записи чисел;
 переводить числа из одной системы записи (системы счисления) в другую;
 доказывать и использовать признаки делимости суммы и произведения при
выполнении вычислений и решении задач;

 выполнять округление рациональных и иррациональных чисел с заданной
точностью;
 сравнивать действительные числа разными способами;
 упорядочивать числа, записанные в виде обыкновенной и десятичной дроби,
числа, записанные с использованием арифметического квадратного корня,
корней степени больше 2;
 находить НОД и НОК разными способами и использовать их при решении
задач;
 выполнять вычисления и преобразования выражений, содержащих
действительные числа, в том числе корни натуральных степеней;
 выполнять стандартные тождественные преобразования тригонометрических,
логарифмических, степенных, иррациональных выражений.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 выполнять и объяснять сравнение результатов вычислений при решении
практических задач, в том числе приближенных вычислений, используя разные
способы сравнений;
 записывать, сравнивать, округлять числовые данные реальных величин с
использованием разных систем измерения;
составлять и оценивать разными способами числовые выражения при
решении практических задач и задач из других учебных предметов

IV. Выпускник получит возможность научиться
















Достижение результатов раздела II;
свободно оперировать числовыми множествами при решении задач;
понимать причины и основные идеи расширения числовых множеств;
владеть основными понятиями теории делимости при решении стандартных
задач
иметь базовые представления о множестве комплексных чисел;
свободно выполнять тождественные преобразования тригонометрических,
логарифмических, степенных выражений;
владеть формулой бинома Ньютона;
применять при решении задач теорему о линейном представлении НОД;
применять при решении задач Китайскую теорему об остатках;
применять при решении задач Малую теорему Ферма;
уметь выполнять запись числа в позиционной системе счисления;
применять при решении задач теоретико-числовые функции: число и сумма
делителей, функцию Эйлера;
применять при решении задач цепные дроби;
применять при решении задачмногочлены с действительными и целыми
коэффициентами;

 владеть понятиями приводимый и неприводимый многочлен и применять их при
решении задач;
 применять при решении задач Основную теорему алгебры;
применять при решении задач простейшие функции комплексной
переменной как геометрические преобразования

Уравнения и неравенства

Выпускник научится

 Свободно оперировать понятиями: уравнение, неравенство, равносильные
уравнения и неравенства, уравнение, являющееся следствием другого
уравнения, уравнения, равносильные на множестве, равносильные
преобразования уравнений;
 решать разные виды уравнений и неравенств и их систем, в том числе
некоторые уравнения 3-й и 4-й степеней, дробно-рациональные и
иррациональные;
 овладеть основными типами показательных, логарифмических,
иррациональных, степенных уравнений и неравенств и стандартными методами
их решений и применять их при решении задач;
 применять теорему Безу к решению уравнений;
 применять теорему Виета для решения некоторых уравнений степени выше
второй;
 понимать смысл теорем о равносильных и неравносильных преобразованиях
уравнений и уметь их доказывать;
 владеть методами решения уравнений, неравенств и их систем, уметь выбирать
метод решения и обосновывать свой выбор;
 использовать метод интервалов для решения неравенств, в том числе дробнорациональных и включающих в себя иррациональные выражения;
 решать алгебраические уравнения и неравенства и их системы с параметрами
алгебраическим и графическим методами;
 владеть разными методами доказательства неравенств;
 решать уравнения в целых числах;
 изображать множества на плоскости, задаваемые уравнениями, неравенствами и
их системами;
 свободно использовать тождественные преобразования при решении уравнений
и систем уравнений
В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 составлять и решать уравнения, неравенства, их системы при решении задач
других учебных предметов;

 выполнять оценку правдоподобия результатов, получаемых при решении
различных уравнений, неравенств и их систем при решении задач других
учебных предметов;
 составлять и решать уравнения и неравенства с параметрами при решении задач
других учебных предметов;
 составлять уравнение, неравенство или их систему, описывающие реальную
ситуацию или прикладную задачу, интерпретировать полученные результаты;
 использовать программные средства при решении отдельных классов
уравнений и неравенств

Выпускник получит возможность научиться

 Достижение результатов раздела II;
 свободно определять тип и выбирать метод решения показательных и
логарифмических уравнений и неравенств, иррациональных уравнений и
неравенств, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем;
 свободно решать системы линейных уравнений;
 решать основные типы уравнений и неравенств с параметрами;
 применять при решении задач неравенства Коши — Буняковского, Бернулли;
 иметь представление о неравенствах между средними степенными

Функции
Выпускник научится

 Владеть понятиями: зависимость величин, функция, аргумент и значение
функции, область определения и множество значений функции, график
зависимости, график функции, нули функции, промежутки знакопостоянства,
возрастание на числовом промежутке, убывание на числовом промежутке,
наибольшее и наименьшее значение функции на числовом промежутке,
периодическая функция, период, четная и нечетная функции; уметь применять
эти понятия при решении задач;
 владеть понятием степенная функция; строить ее график и уметь применять
свойства степенной функции при решении задач;
 владеть понятиями показательная функция, экспонента; строить их графики и
уметь применять свойства показательной функции при решении задач;
 владеть понятием логарифмическая функция; строить ее график и уметь
применять свойства логарифмической функции при решении задач;
 владеть понятиями тригонометрические функции; строить их графики и уметь
применять свойства тригонометрических функций при решении задач;

 владеть понятием обратная функция; применять это понятие при решении задач;
 применять при решении задач свойства функций: четность, периодичность,
ограниченность;
 применять при решении задач преобразования графиков функций;
 владеть понятиями числовая последовательность, арифметическая и
геометрическая прогрессия;
 применять при решении задач свойства и признаки арифметической и
геометрической прогрессий.
В повседневной жизни и при изучении других учебных предметов:

 определять по графикам и использовать для решения прикладных задач
свойства реальных процессов и зависимостей (наибольшие и наименьшие
значения, промежутки возрастания и убывания функции, промежутки
знакопостоянства, асимптоты, точки перегиба, период и т.п.);
 интерпретировать свойства в контексте конкретной практической ситуации;.
определять по графикам простейшие характеристики периодических процессов в
биологии, экономике, музыке, радиосвязи и др. (амплитуда, период и т.п.)

Выпускник получит возможность научиться

 Достижение результатов раздела II;
 владеть понятием асимптоты и уметь его применять при решении задач;
 применять методы решения простейших дифференциальных уравнений первого
и второго порядков
Элементы математического анализа
Выпускник научится

 Владеть понятием бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и уметь
применять его при решении задач;
 применять для решения задач теорию пределов;
 владеть понятиями бесконечно большие и бесконечно малые числовые
последовательности и уметь сравнивать бесконечно большие и бесконечно
малые последовательности;
 владеть понятиями: производная функции в точке, производная функции;
 вычислять производные элементарных функций и их комбинаций;
 исследовать функции на монотонность и экстремумы;
 строить графики и применять к решению задач, в том числе с параметром;
 владеть понятием касательная к графику функции и уметь применять его при
решении задач;
 владеть понятиями первообразная функция, определенный интеграл;
 применять теорему Ньютона–Лейбница и ее следствия для решения задач.
В повседневной жизни и при изучении других учебных предметов:

 решать прикладные задачи из биологии, физики, химии, экономики и других
предметов, связанные с исследованием характеристик процессов;
интерпретировать полученные результаты

Выпускник получит возможность научиться

 Достижение результатов раздела II;
 свободно владеть стандартным аппаратом математического анализа для
вычисления производных функции одной переменной;
 свободно применять аппарат математического анализа для исследования
функций и построения графиков, в том числе исследования на выпуклость;
 оперировать понятием первообразной функции для решения задач;
 овладеть основными сведениями об интеграле Ньютона–Лейбница и его
простейших применениях;
 оперировать в стандартных ситуациях производными высших порядков;
 уметь применять при решении задач свойства непрерывных функций;
В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 вычислять или оценивать вероятности событий в реальной жизни;
 выбирать методы подходящего представления и обработки данныхуметь
применять при решении задач теоремы Вейерштрасса;
 уметь выполнять приближенные вычисления (методы решения уравнений,
вычисления определенного интеграла);
 уметь применять приложение производной и определенного интеграла к
решению задач естествознания;
владеть понятиями вторая производная, выпуклость графика функции и уметь исследовать функцию
на выпуклость

Текстовые задачи

Выпускник научится

 Решать разные задачи повышенной трудности;
 анализировать условие задачи, выбирать оптимальный метод решения задачи,
рассматривая различные методы;




строить модель решения задачи, проводить доказательные рассуждения при решении задачи;
решать задачи, требующие перебора вариантов, проверки условий, выбора оптимального результата;
анализировать и интерпретировать полученные решения в контексте условия задачи, выбирать
решения, не противоречащие контексту;

 переводить при решении задачи информацию из одной формы записи в другую,
используя при необходимости схемы, таблицы, графики, диаграммы.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

решать практические задачи и задачи из других предметов

Выпускник получит возможность научиться

 Достижение результатов раздела II

Выпускник получит возможность научиться












Иметь представление об аксиоматическом методе;
владеть понятием геометрические места точек в пространстве и уметь применять их для
решения задач;
уметь применять для решения задач свойства плоских и двугранных углов, трехгранного угла,
теоремы косинусов и синусов для трехгранного угла;
владеть понятием перпендикулярное сечение призмы и уметь применять его при решении задач;
иметь представление о двойственности правильных многогранников;
владеть понятиями центральное и параллельное проектирование и применять их при построении
сечений многогранников методом проекций;
иметь представление о развертке многогранника и кратчайшем пути на поверхности
многогранника;
иметь представление о конических сечениях;
иметь представление о касающихся сферах и комбинации тел вращения и уметь применять их
при решении задач;
применять при решении задач формулу расстояния от точки до плоскости;
владеть разными способами задания прямой уравнениями и уметь применять при решении задач;

 применять при решении задач и доказательстве теорем векторный метод и
метод координат;
 иметь представление об аксиомах объема, применять формулы объемов
прямоугольного параллелепипеда, призмы и пирамиды, тетраэдра при решении
задач;
 применять теоремы об отношениях объемов при решении задач;
 применять интеграл для вычисления объемов и поверхностей тел вращения,
вычисления площади сферического пояса и объема шарового слоя;
 иметь представление о движениях в пространстве: параллельном переносе,
симметрии относительно плоскости, центральной симметрии, повороте
относительно прямой, винтовой симметрии, уметь применять их при решении
задач;
 иметь представление о площади ортогональной проекции;
 иметь представление о трехгранном и многогранном угле и применять
свойства плоских углов многогранного угла при решении задач;
 иметь представления о преобразовании подобия, гомотетии и уметь
применять их при решении задач;
 уметь решать задачи на плоскости методами стереометрии;

уметь применять формулы объемов при решении задач

История математики
Выпускник научится


Иметь представление о вкладе выдающихся математиков в развитие науки;
понимать роль математики в развитии России

Методы математики
Выпускник научится




Использовать основные методы доказательства, проводить доказательство и выполнять опровержение;
применять основные методы решения математических задач;
на основе математических закономерностей в природе характеризовать красоту и совершенство
окружающего мира и произведений искусства;
 применять простейшие программные средства и электронно-коммуникационные системы при решении
математических задач;
пользоваться прикладными программами и программами символьных вычислений для исследования
математических объектов
Выпускник получит возможность научиться

 Достижение результатов раздела II;
 применять математические знания к исследованию окружающего мира
(моделирование физических процессов, задачи экономики)

Содержание учебного предмета

Углубленный уровень
Алгебра и начала анализа
Повторение. Решение задач с использованием свойств чисел и систем счисления, делимости, долей и
частей, процентов, модулей чисел. Решение задач с использованием свойств степеней и корней,
многочленов, преобразований многочленов и дробно-рациональных выражений. Решение задач с
использованием градусной меры угла. Модуль числа и его свойства. Решение задач на движение и
совместную работу, смеси и сплавы с помощью линейных, квадратных и дробно-рациональных

уравнений и их систем. Решение задач с помощью числовых неравенств и систем неравенств с одной
переменной, с применением изображения числовых промежутков. Решение задач с использованием
числовых функций и их графиков. Использование свойств и графиков линейных и квадратичных функций,
обратной пропорциональности и функции y  x . Графическое решение уравнений и неравенств.
Использование операций над множествами и высказываниями. Использование неравенств и систем
неравенств с одной переменной, числовых промежутков, их объединений и пересечений. Применение
при решении задач свойств арифметической и геометрической прогрессии, суммирования бесконечной
сходящейся геометрической прогрессии.
Множества (числовые, геометрических фигур). Характеристическое свойство, элемент множества, пустое,
конечное, бесконечное множество. Способы задания множеств Подмножество. Отношения
принадлежности, включения, равенства. Операции над множествами. Круги Эйлера. Конечные и
бесконечные, счетные и несчетные множества.
Истинные и ложные высказывания, операции над высказываниями. Алгебра высказываний. Связь
высказываний с множествами. Кванторы существования и всеобщности.
Законы логики. Основные логические правила. Решение логических задачс использованием кругов
Эйлера, основных логических правил.
Умозаключения. Обоснования и доказательство в математике. Теоремы. Виды математических
утверждений. Виды доказательств. Математическая индукция. Утверждения: обратное данному,
противоположное, обратное противоположному данному. Признак и свойство, необходимые и
достаточные условия.
Основная теорема арифметики. Остатки и сравнения. Алгоритм Евклида. Китайская теорема об
остатках. Малая теорема Ферма. q-ичные системы счисления. Функция Эйлера, число и сумма
делителей натурального числа.
Радианная мера угла, тригонометрическая окружность. Тригонометрические функции чисел и углов.
Формулы приведения, сложения тригонометрических функций, формулы двойного и половинного
аргумента. Преобразование суммы, разности в произведение тригонометрических функций, и наоборот.
Нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность. Наибольшее и наименьшее значение
функции. Периодические функции и наименьший период. Четные и нечетные функции. Функции
«дробная часть числа»

y  x и «целая часть числа» y x .

Тригонометрические функции числового аргумента y  cos x , y  sin x , y  tg x , y  ctg x . Свойства и
графики тригонометрических функций.
Обратные тригонометрические функции, их главные значения, свойства и графики. Тригонометрические
уравнения. Однородные тригонометрические уравнения. Решение простейших тригонометрических
неравенств. Простейшие системы тригонометрических уравнений.
Степень с действительным показателем, свойства степени. Простейшие показательные уравнения и
неравенства. Показательная функция и ее свойства и график. Число e и функция y  ex .
Логарифм, свойства логарифма. Десятичный и натуральный логарифм. Преобразование логарифмических
выражений. Логарифмические уравнения и неравенства. Логарифмическая функция и ее свойства и
график.

Степенная функция и ее свойства и график. Иррациональные уравнения.
Первичные представления о множестве комплексных чисел. Действия с комплексными числами.
Комплексно сопряженные числа. Модуль и аргумент числа. Тригонометрическая форма комплексного
числа. Решение уравнений в комплексных числах.
Метод интервалов для решения неравенств. Преобразования графиков функций: сдвиг, умножение на
число, отражение относительно координатных осей. Графические методы решения уравнений и
неравенств. Решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.
Системы показательных, логарифмических и иррациональных уравнений. Системы показательных,
логарифмических и иррациональных неравенств.
Взаимно обратные функции. Графики взаимно обратных функций.
Уравнения, системы уравнений с параметром.
Формула Бинома Ньютона. Решение уравнений степени выше 2 специальных видов. Теорема Виета,
теорема Безу. Приводимые и неприводимые многочлены. Основная теорема алгебры. Симметрические
многочлены. Целочисленные и целозначные многочлены.
Диофантовы уравнения. Цепные дроби. Теорема Ферма о сумме квадратов.
Суммы и ряды, методы суммирования и признаки сходимости.
Теоремы о приближении действительных чисел рациональными.
Множества на координатной плоскости.
Неравенство Коши–Буняковского, неравенство Йенсена, неравенства о средних.
Понятие предела функции в точке. Понятие предела функции в бесконечности. Асимптоты графика
функции. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших. Непрерывность функции. Свойства
непрерывных функций. Теорема Вейерштрасса.
Дифференцируемость функции. Производная функции в точке. Касательная к графику функции.
Геометрический и физический смысл производной. Применение производной в физике. Производные
элементарных функций. Правила дифференцирования.
Вторая производная, ее геометрический и физический смысл.
Точки экстремума (максимума и минимума). Исследование элементарных функций на точки экстремума,
наибольшее и наименьшее значение с помощью производной. Построение графиков функций с
помощью производных. Применение производной при решении задач. Нахождение экстремумов
функций нескольких переменных.
Первообразная. Неопределенный интеграл. Первообразные элементарных функций. Площадь
криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница.Определенный интеграл. Вычисление площадей
плоских фигур и объемов тел вращения с помощью интеграла..
Методы решения функциональных уравнений и неравенств.

Календарное планирование
«Иррациональные и трансцендентные уравнения и неравенства»
10 класс
№

Тема . Раздел

Число часов

1.

Методы решения дробно-рациональных уравнений и
неравенств

1

2

Методы решения иррациональных уравнений

1

3

Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля

1

4

Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля

1

5

Метод интервалов для непрерывных функций

1

6

Использование
свойств
входящих
(ограниченность и монотонность)

7

Системы и совокупности уравнений

1

8

Методы исключений, алгебраического сложения

1

9

Задачи, связанные с понятиями
«процентное содержание»

«концентрация»

и

1

10

Задачи, связанные с понятиями «концентрация»
«процентное содержание»

и

1

11

Задачи на « движение» и « работу»

1

12

Задачи на « движение» и « работу»

1

13

Решение задач в целых числах

1

14

Решение задач в целых числах

1

15

Диафантовые уравнения

1

16

Методы решения дробно-рациональных уравнений и
неравенств

1

17

Методы решения дробно-рациональных неравенств

1

18

Методы решения дробно-рациональных неравенств

1

функций

1

Календарное планирование
« Иррациональные и трансцендентные уравнения и неравенства»
11 класс

№

Тема. Раздел

Число
часов

I

Уравнения и неравенства

10

1.

Методы решения дробно-рациональных,
иррациональных, трансцендентных (показательных,
логарифмических и тригонометрических) уравнений и
неравенств.

1

2.

3.

4.

Методы решения дробно-рациональных,
иррациональных, трансцендентных (показательных,
логарифмических и тригонометрических) уравнений и
неравенств.

1

Методы решения дробно-рациональных,
иррациональных, трансцендентных (показательных,
логарифмических и тригонометрических) уравнений и
неравенств.

1

Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля

1

Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля

1

Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля

1

Метод интервалов для непрерывных функций

1.

Метод интервалов для непрерывных функций

1

Использование свойств функций (ограниченность,
монотонность, экстремальные свойства, использование
числовых неравенств)

1

Использование свойств функций (ограниченность,
монотонность, экстремальные свойства, использование

1

числовых неравенств)
II

Cистемы уравнений и неравенств

7

1.

Системы и совокупности уравнений

1

2.

Методы исключения, алгебраического сложения, замены
переменных.

1

3.

Использование графиков при решении систем уравнений

1

4.

Системы иррациональных, тригонометрических,
показательных и логарифмических уравнений и
неравенств.

5

1

Системы иррациональных, тригонометрических,
показательных и логарифмических уравнений и
неравенств.

1

Решение неравенств с двумя переменными

1

Решение неравенств с двумя переменными

1